Unterschied zwischen FFT und DFT

Schnelle Fourier-Transformation (FFT) vs. Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Technologie und Wissenschaft gehen Hand in Hand. Und dafür gibt es kein besseres Beispiel als die digitale Signalverarbeitung (DSP). Die digitale Signalverarbeitung ist der Prozess zur Optimierung der Genauigkeit und Effizienz digitaler Kommunikation. Alles ist Daten - ob Bilder von Weltraumsonden oder seismische Schwingungen und alles dazwischen. Um diese Daten mit Hilfe von Computern in ein vom Menschen lesbares Format umzuwandeln, ist digitale Signalverarbeitung erforderlich. Es ist eine der leistungsfähigsten Technologien, die mathematische Theorie und physikalische Implementierung miteinander verbindet. Das DSP-Studium begann als Hochschulstudium in Elektrotechnik, hat sich jedoch im Laufe der Zeit zu einem potenziellen Gamechanger in Wissenschaft und Technik entwickelt. Es genügt zu sagen, ohne DSP könnten Ingenieure und Wissenschaftler aufhören zu existieren.

Die Fourier-Transformation ist ein Mittel zur Abbildung eines Signals im Zeit- oder Raumbereich in sein Spektrum im Frequenzbereich. Die Zeit- und Frequenzbereiche sind nur alternative Darstellungsformen von Signalen, und die Fourier-Transformation ist die mathematische Beziehung zwischen den beiden Darstellungen. Eine Signaländerung in einer Domäne würde auch das Signal in der anderen Domäne beeinflussen, jedoch nicht notwendigerweise auf dieselbe Weise. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist eine Transformation, die der bei digitalisierten Signalen verwendeten Fourier-Transformation ähnelt. Wie der Name vermuten lässt, ist es die diskrete Version der FT, die sowohl den Zeitbereich als auch den Frequenzbereich als periodisch ansieht. Die Fast Fourier Transformation (FFT) ist nur ein Algorithmus für die schnelle und effiziente Berechnung der DFT.

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der digitalen Signalverarbeitung, das das Spektrum eines Signals mit endlicher Dauer berechnet. Es ist sehr üblich, die Informationen in den Sinusoiden zu codieren, die ein Signal bilden. In einigen Anwendungen wird die Form einer Zeitbereichswellenform jedoch nicht für Signale angewendet, wobei der Signalfrequenzinhalt auf andere Weise als digitale Signale sehr nützlich wird. Die Darstellung eines digitalen Signals in Bezug auf seine Frequenzkomponente in einem Frequenzbereich ist wichtig. Der Algorithmus, der die Zeitbereichssignale in die Frequenzbereichskomponenten umwandelt, ist als diskrete Fourier-Transformation oder DFT bekannt.

Schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Die Fast-Fourier-Transformation (FFT) ist eine Implementierung der DFT, die fast die gleichen Ergebnisse wie die DFT liefert. Sie ist jedoch unglaublich effizient und viel schneller, was die Rechenzeit oft erheblich reduziert. Es ist nur ein Rechenalgorithmus, der zur schnellen und effizienten Berechnung der DFT verwendet wird. Verschiedene schnelle DFT-Berechnungstechniken, die zusammen als schnelle Fourier-Transformation (FFT) bezeichnet werden. Gauß war der erste, der im Jahr 1805 die Methode zur Berechnung der Koeffizienten in einer Trigonometrie der Umlaufbahn eines Asteroiden vorschlug. Erst 1965 erregte ein wegweisendes Papier von Cooley und Tukey die Aufmerksamkeit der Wissenschaftler und Ingenieure die Grundlage der Disziplin der digitalen Signalverarbeitung.

Unterschied zwischen FFT und DFT

1. Bedeutung von FFT und DFT

Diskrete Fourier-Transformation oder einfach als DFT bezeichnet, ist der Algorithmus, der die Zeitbereichssignale in die Frequenzbereichskomponenten umwandelt. DFT ist, wie der Name schon sagt, wirklich diskret. Datensätze mit diskretem Zeitbereich werden in eine diskrete Frequenzdarstellung umgewandelt. Einfach ausgedrückt, wird eine Beziehung zwischen der Zeitdomänenrepräsentation und der Frequenzdomänenrepräsentation hergestellt. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein Berechnungsalgorithmus, der die Rechenzeit und Komplexität großer Transformationen reduziert. Die FFT ist nur ein Algorithmus, der zur schnellen Berechnung der DFT verwendet wird.

2. Algorithmus von FFT und DFT

Der am häufigsten verwendete FFT-Algorithmus ist der Cooley-Tukey-Algorithmus, der nach J. W. Cooley und John Tukey benannt wurde. Es ist ein Divide-and-Conquer-Algorithmus für die Maschinenberechnung komplexer Fourier-Serien. Es zerlegt die DFT in kleinere DFTs. Andere FFT-Algorithmen umfassen den Rader-Algorithmus, den Winograd-Fourier-Transformations-Algorithmus, den Chirp-Z-Transformations-Algorithmus usw. Die DFT-Algorithmen können entweder auf Digitalcomputern für allgemeine Zwecke programmiert oder direkt durch spezielle Hardware implementiert werden. Der FFT-Algorithmus wird verwendet, um die DFT einer Sequenz oder deren Inversen zu berechnen. Eine DFT kann als O (N²) in zeitlicher Komplexität, während FFT die zeitliche Komplexität in der Reihenfolge O (NlogN) reduziert..

3. Anwendungen von FFT und DFT

DFT kann in vielen digitalen Verarbeitungssystemen für eine Vielzahl von Anwendungen verwendet werden, z. B. zur Berechnung des Frequenzspektrums eines Signals, zum Lösen partieller Differentialanwendungen, zur Erkennung von Zielen aus Radarechos, zur Korrelationsanalyse, zur Berechnung der Polynomvervielfachung, zur Spektralanalyse und mehr. FFT wurde häufig für akustische Messungen in Kirchen und Konzertsälen eingesetzt. Andere Anwendungen der FFT umfassen die Spektralanalyse bei analogen Videomessungen, Multiplikation mit ganzzahligen und Polynomen, Filteralgorithmen, Berechnen von Isotopenverteilungen, Berechnen von Fourier-Serien-Koeffizienten, Berechnen von Faltungen, Erzeugen von niederfrequentem Rauschen, Entwerfen von Kinoformen, Durchführen von strukturierten Matrizen, Durchführen von dichten strukturierten Matrizen, Bildverarbeitung und Mehr.

FFT vs. DFT: Vergleichstabelle

Zusammenfassung der FFT Vs. DFT

Kurz gesagt, die diskrete Fourier-Transformation spielt in der Physik eine Schlüsselrolle, da sie als mathematisches Werkzeug zur Beschreibung der Beziehung zwischen dem Zeitbereich und dem Frequenzbereich von diskreten Signalen verwendet werden kann. Es ist ein einfacher, aber recht zeitraubender Algorithmus. Um jedoch die Rechenzeit und Komplexität großer Transformationen zu reduzieren, kann ein komplexerer, jedoch weniger zeitaufwendiger Algorithmus wie die schnelle Fourier-Transformation verwendet werden. FFT ist eine Implementierung der DFT, die zur schnellen Berechnung der DFT verwendet wird. Kurz gesagt: FFT kann alles, was eine DFT tut, aber effizienter und viel schneller als eine DFT. Es ist eine effiziente Methode zur Berechnung der DFT.