Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen

Kalkül ist ein wichtiger Zweig der Mathematik, und Differenzierung spielt eine entscheidende Rolle im Kalkül. Der inverse Prozess der Differenzierung wird als Integration bezeichnet, und die Inverse wird als Integral oder einfach ausgedrückt bezeichnet. Die Inverse der Differenzierung ergibt ein Integral. Basierend auf den Ergebnissen, die sie erzeugen, werden die Integrale in zwei Klassen unterteilt, nämlich definite und unbestimmte Integrale.

Definite Integral

Das definitive Integral von f (x) ist eine NUMMER und repräsentiert die Fläche unter der Kurve f (x) von x = a zu x = b.

Ein bestimmtes Integral hat Ober- und Untergrenzen für die Integrale und wird als definitiv bezeichnet, weil wir am Ende des Problems eine Zahl haben - es ist eine eindeutige Antwort.

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral von f (x) ist eine FUNKTION und beantwortet die Frage „Welche Funktion gibt differenziert an f (x)?”

Bei einem unbestimmten Integral gibt es hier keine Ober- und Untergrenzen für das Integral. Was wir bekommen, ist eine Antwort, die immer noch hat x's drin und wird auch eine Konstante haben (normalerweise mit C) drin.

Das unbestimmte Integral liefert normalerweise eine allgemeine Lösung für die Differentialgleichung.

Das unbestimmte Integral ist eher eine allgemeine Form der Integration und kann als Anti-Ableitung der betrachteten Funktion interpretiert werden.

Angenommen, die Funktion wird unterschieden F führt zu einer anderen Funktion f, und die Integration von f ergibt das Integral. Symbolisch wird dies als geschrieben

F (x) = ∫ƒ (x) dx

oder

F = dƒ dx

wo beides F und ƒ sind Funktionen von x, und F ist differenzierbar. In der obigen Form wird es als Reimann-Integral bezeichnet und die resultierende Funktion begleitet eine beliebige Konstante.

Ein unbestimmtes Integral erzeugt oft eine Familie von Funktionen. daher ist das Integral unbestimmt.

Integrale und Integrationsprozesse stehen im Mittelpunkt der Lösung von Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu den Differenzierungsschritten folgen die Integrationsschritte jedoch nicht immer einer klaren und Standardroutine. Gelegentlich sehen wir, dass die Lösung nicht explizit als Elementarfunktion ausgedrückt werden kann. In diesem Fall wird die analytische Lösung oft in Form eines unbestimmten Integrals gegeben.

Fundamentales Theorem der Analysis

Das definitive und das unbestimmte Integral sind durch den Fundamentalsatz des Kalküls wie folgt verbunden: Um a bestimmtes integrales, finde das unbestimmtes Integral (auch als Anti-Ableitung bekannt) der Funktion und werten sie an den Endpunkten aus x = a und x = b.

Der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen wird deutlich, wenn wir die Integrale für dieselbe Funktion auswerten.

Betrachten Sie das folgende Integral:

OK. Lass uns beide machen und den Unterschied sehen.

Für die Integration müssen wir dem Index eine hinzufügen, was zu dem folgenden Ausdruck führt:

Zu diesem Zeitpunkt C ist für uns nur eine Konstante. Für das Problem sind zusätzliche Informationen erforderlich, um den genauen Wert von zu ermitteln C.

Lassen Sie uns dasselbe Integral in seiner bestimmten Form bewerten, d. H. Mit den oberen und unteren Grenzen.

Grafisch berechnen wir jetzt die Fläche unter der Kurve f (x) = y³ zwischen y = 2 und y = 3.

Der erste Schritt bei dieser Bewertung ist derselbe wie die unbestimmte integrale Bewertung. Der einzige Unterschied ist, dass wir dieses Mal nicht die Konstante hinzufügen C.

Der Ausdruck in diesem Fall sieht folgendermaßen aus:

Dies ist wiederum führt zu:

Im Wesentlichen haben wir 3 und dann 2 im Ausdruck eingesetzt und den Unterschied zwischen ihnen erhalten.

Dies ist der definitive Wert im Gegensatz zur Verwendung von Konstanten C vorhin.

Untersuchen wir den konstanten Faktor (in Bezug auf das unbestimmte Integral) etwas detaillierter.

Wenn der Unterschied von y³ ist 3y², dann

∫3y²dy = y³

jedoch, 3y² könnte der Unterschied vieler Ausdrücke sein, von denen einige enthalten y³-5, y³+7, etc… Dies bedeutet, dass die Umkehrung nicht eindeutig ist, da die Konstante während des Vorgangs nicht berücksichtigt wird.

Also im Allgemeinen, 3y² ist das Differential von y³+C woher C ist eine Konstante. C ist übrigens als bekannt 'Konstante der Integration'.

Wir schreiben das als:

∫ 3y².dx = y³ + C

Integrationstechniken für ein unbegrenztes Integral, wie z. B. die Suche nach Tabellen oder die Integration von Risch, können während des Integrationsprozesses neue Diskontinuitäten hinzufügen. Diese neuen Diskontinuitäten treten auf, weil die Anti-Derivate die Einführung komplexer Logarithmen erforderlich machen können.

Komplexe Logarithmen haben eine Sprungdiskontinuität, wenn das Argument die negative reelle Achse kreuzt, und die Integrationsalgorithmen können manchmal keine Darstellung finden, in der diese Sprünge aufheben.

Wenn das definierte Integral ausgewertet wird, indem zuerst ein unbestimmtes Integral berechnet und dann die Integrationsgrenzen in das Ergebnis eingefügt werden, müssen wir uns bewusst sein, dass eine unbestimmte Integration Diskontinuitäten erzeugen kann. Wenn ja, müssen wir zusätzlich die Diskontinuitäten im Integrationsintervall untersuchen.