Unterschied zwischen arithmetischer Sequenz und geometrischer Sequenz

Arithmetische Sequenz vs. geometrische Sequenz
 

Das Studium der Zahlenmuster und ihres Verhaltens ist eine wichtige Studie auf dem Gebiet der Mathematik. Oft sind diese Muster in der Natur zu sehen und helfen uns, ihr Verhalten aus wissenschaftlicher Sicht zu erklären. Arithmetische Sequenzen und Geometrische Sequenzen sind zwei der Grundmuster, die in Zahlen vorkommen und oft in natürlichen Phänomenen zu finden sind.

Die Reihenfolge ist eine Reihe von geordneten Zahlen. Die Anzahl der Elemente in der Sequenz kann entweder endlich oder unendlich sein.

Mehr über arithmetische Sequenz (Arithmetische Progression)

Eine arithmetische Folge ist definiert als Folge von Zahlen mit einer konstanten Differenz zwischen jedem aufeinander folgenden Term. Es wird auch als arithmetische Progression bezeichnet.

Arithmetische Reihenfolge ⇒ a₁, ein₂, ein_3, ein₄,… , ein_n ; wo ein₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d und so weiter.

Wenn der anfängliche Begriff a ist₁ und der gemeinsame Unterschied ist d, dann das n^th Begriff der Sequenz ist gegeben durch;

ein_n = a₁ + (n-1) d

Durch das obige Ergebnis wird der n^th Begriff kann auch als gegeben werden;

ein_n = a_m + (n-m) d, wo ein_m ist ein zufälliger Term in der Sequenz, so dass n> m ist.

Die Menge der geraden Zahlen und die Menge der ungeraden Zahlen sind die einfachsten Beispiele für arithmetische Sequenzen, wobei jede Sequenz eine gemeinsame Differenz (d) von 2 hat.

Die Anzahl der Terme in einer Sequenz kann entweder unendlich oder endlich sein. Im unendlichen Fall (n → ∞) neigt die Sequenz je nach dem üblichen Unterschied (a_n → ± ∞). Wenn der gemeinsame Unterschied positiv ist (d> 0), tendiert die Sequenz zur positiven Unendlichkeit und wenn der gemeinsame Unterschied negativ ist (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Die Summe der Terme in der arithmetischen Sequenz wird als arithmetische Serie bezeichnet: S_n= a₁ + ein₂ + ein₃ + ein₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} ein_ich; und S_n = (n / 2) (a₁ + ein_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] gibt den Wert der Reihe an (S_n).

Mehr über geometrische Sequenz (geometrischer Verlauf)

Eine geometrische Sequenz ist als eine Sequenz definiert, in der der Quotient zweier beliebiger aufeinander folgender Terme eine Konstante ist. Dies wird auch als geometrische Progression bezeichnet.

Geometrische Reihenfolge ⇒ a₁, ein₂, ein₃, ein₄,… , ein_n; wo ein₂/ein₁ = r, a₃/ein₂ = r und so weiter, wobei r eine reelle Zahl ist.

Es ist einfacher, die geometrische Folge mit dem gemeinsamen Verhältnis (r) und dem Anfangsterm (a) darzustellen. Daher die geometrische Reihenfolge ⇒ a₁, ein₁r, a₁r², ein₁r³,… , ein₁r^n-1.

Die allgemeine Form des n^th Begriffe, die von a gegeben werden_n = a₁r^n-1. (Verlust des Index des ursprünglichen Begriffs ⇒ a_n = ar^n-1)

Die geometrische Reihenfolge kann auch endlich oder unendlich sein. Wenn die Anzahl der Terme endlich ist, wird die Sequenz als endlich bezeichnet. Wenn die Terme unendlich sind, kann die Sequenz abhängig vom Verhältnis r entweder unendlich oder endlich sein. Das gemeinsame Verhältnis beeinflusst viele Eigenschaften in geometrischen Sequenzen. 

r> o	0 < r < +1	Die Sequenz konvergiert - exponentieller Zerfall, d.h.n → 0, n → ∞
	r = 1	Konstante Reihenfolge, d.h.n = konstant
	r> 1	Die Sequenz divergiert - exponentielles Wachstum, d.h.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Die Sequenz oszilliert, aber sie konvergiert
	r = 1	Die Sequenz ist abwechselnd und konstant, d. Hn = ± konstant
	r < -1	Die Sequenz ist abwechselnd und divergiert. einn → ± ∞, n → ∞
r = 0	Die Folge ist eine Folge von Nullen

NB: In allen oben genannten Fällen a₁ > 0; wenn eine₁ < 0, the signs related to a_n wird invertiert.

Das Zeitintervall zwischen den Abprallern eines Balls folgt im idealen Modell einer geometrischen Sequenz und ist eine konvergente Sequenz.

Die Summe der Terme der geometrischen Sequenz wird als geometrische Serie bezeichnet. S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} ar^ich. Die Summe der geometrischen Reihen kann mit der folgenden Formel berechnet werden.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); wobei a der anfängliche Ausdruck ist und r das Verhältnis ist.

Wenn das Verhältnis r ≤ 1 ist, konvergiert die Reihe. Für eine unendliche Reihe wird der Wert der Konvergenz durch S angegeben_n = a / (1-r) 

Was ist der Unterschied zwischen Arithmetik und geometrischer Sequenz / Progression??

• In einer arithmetischen Sequenz haben zwei aufeinander folgende Terme einen gemeinsamen Unterschied (d), während in der geometrischen Sequenz zwei aufeinander folgende Terme einen konstanten Quotienten (r) haben..

• In einer arithmetischen Sequenz ist die Variation der Terme linear, d. H. Es kann eine gerade Linie durch alle Punkte gezogen werden. In einer geometrischen Reihe ist die Variation exponentiell; je nach gewöhnlicher Ratio entweder wachsen oder zerfallen.

• Alle unendlichen arithmetischen Sequenzen sind divergent, während unendliche geometrische Reihen entweder divergent oder konvergent sein können.

• Die geometrische Reihe kann Schwingungen anzeigen, wenn das Verhältnis r negativ ist, während die arithmetische Reihe keine Schwingung anzeigt