Unterschied zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten

Kartesische Koordinaten gegen Polarkoordinaten
 

In der Geometrie ist ein Koordinatensystem ein Bezugssystem, in dem Zahlen (oder Koordinaten) verwendet werden, um die Position eines Punkts oder eines anderen geometrischen Elements im Raum eindeutig zu bestimmen. Die Koordinatensysteme ermöglichen die Umwandlung der geometrischen Probleme in ein numerisches Problem, das die Grundlage für die analytische Geometrie bildet.

Das kartesische Koordinatensystem und die Polarkoordinatensysteme sind zwei der in der Mathematik gebräuchlichen Koordinatensysteme.

Kartesischen Koordinaten

Das kartesische Koordinatensystem verwendet die reelle Zahlenlinie als Referenz. In einer Dimension erstreckt sich die Zahlenlinie von der negativen Unendlichkeit bis zur positiven Unendlichkeit. Betrachtet man den Punkt 0 als Start, kann die Länge zu jedem Punkt gemessen werden. Dies bietet eine eindeutige Möglichkeit, eine Position auf der Linie mit einer einzigen Nummer zu identifizieren.

Das Konzept kann in zwei und drei Dimensionen erweitert werden, wobei Zahlenlinien verwendet werden, die senkrecht zueinander stehen. Sie haben alle den gleichen Punkt 0 wie der Start. Die Zahlenlinien werden als Achsen bezeichnet und oft als X-Achse, Y-Achse und Z-Achse bezeichnet. Der Abstand zu einem Punkt entlang jeder Achse ausgehend von (0, 0, 0), der auch als Ursprung bezeichnet wird und als Tupel angegeben wird, wird als Koordinate des Punkts bezeichnet. Ein allgemeiner Punkt in diesem Raum kann durch die Koordinate (x, y, z) dargestellt werden. In einem Ebenensystem, in dem es nur zwei Achsen gibt, werden die Koordinaten als (x, y) angegeben. Eine durch die Achsen erstellte Ebene wird als kartesische Ebene bezeichnet und oft als Buchstaben der Achsen bezeichnet. Z.B. XY-Ebene.

Dieser allgemeine Punkt kann verwendet werden, um verschiedene geometrische Elemente zu beschreiben, indem der allgemeine Punkt auf bestimmte Weise festgelegt wird. Beispielsweise repräsentiert Gleichung x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 einen Kreis. Anstatt einen Kreis mit dem Radius a zu zeichnen, ist es möglich, den Kreis auf abstraktere Weise zu kennzeichnen.

Polar Koordinaten

Polarkoordinaten verwenden ein Differenzreferenzsystem, um einen Punkt zu bezeichnen. Das Polarkoordinatensystem verwendet den Winkel gegen den Uhrzeigersinn von der positiven Richtung der x-Achse und den Abstand der geraden Linie zum Punkt als Koordinaten. 

 

Die Polarkoordinaten können wie oben im zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden.

Die Transformation zwischen polaren und kartesischen Systemen ist durch folgende Beziehungen gegeben:

r = √ (x² + y²) ↔ x = r cosθ, y = r sinθ

= tan^-1 (x / y)

Was ist der Unterschied zwischen kartesischen und polaren Koordinaten??

• Kartesische Koordinaten verwenden Zahlenlinien als Achsen und können in einer, zwei oder drei Dimensionen verwendet werden. Daher ist es möglich, lineare, planare und Volumengeometrien darzustellen.

• Polarkoordinaten verwenden einen Winkel und eine Länge als Koordinaten und können nur lineare und ebene Geometrien darstellen, obwohl sie in ein Zylinderkoordinatensystem umgewandelt werden können, um Volumengeometrien darzustellen.

• Beide Systeme werden verwendet, um imaginäre Zahlen durch Definition der imaginären Achse darzustellen, und spielen eine wichtige Rolle in der komplexen Algebra. Obwohl in der einfachen Form kartesische Koordinaten reelle Zahlen (x, y, z) sind, sind die Koordinaten im Polarsystem nicht immer reelle Zahlen. wenn der Winkel in Grad angegeben ist, sind die Koordinaten nicht reell; Wenn der Winkel in Bogenmaß angegeben ist, sind die Koordinaten reelle Zahlen.