Unterschied zwischen diskreter Funktion und stetiger Funktion

Diskrete Funktion vs. Dauerfunktion

Funktionen sind eine der wichtigsten Klassen mathematischer Objekte, die in fast allen Teilgebieten der Mathematik umfangreich verwendet werden. Wie ihre Namen vermuten lassen, sind sowohl diskrete Funktionen als auch kontinuierliche Funktionen zwei spezielle Arten von Funktionen.

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die so definiert ist, dass für jedes Element in der ersten Menge der Wert, der mit der zweiten Gruppe korrespondiert, eindeutig ist. Lassen f eine vom Set definierte Funktion sein EIN in set B. Dann für jedes xϵ A, das Symbol f(x) bezeichnet den eindeutigen Wert in der Menge B das entspricht x. Es heißt das Bild von x unter f. Daher eine Beziehung f von A nach B ist eine Funktion, wenn und nur für, jeweils x A und y ϵ A; ob x = y dann f(x) = f(y). Die Menge A heißt Domäne der Funktion f, und es ist die Menge, in der die Funktion definiert ist.

Betrachten Sie zum Beispiel die Beziehung f von R in R definiert durch f(x) = x + 2 für jeden x A. Dies ist eine Funktion, deren Domäne R ist, da für jede reelle Zahl x und y x = y impliziert f(x) = x + 2 = y + 2 = f(y). Aber die Beziehung G von N in N definiert durch G(x) = a, wobei 'a' Primfaktoren von x ist, ist keine Funktion als G(6) = 3 sowie G(6) = 2.

Was ist eine diskrete Funktion??

Eine diskrete Funktion ist eine Funktion, deren Domäne höchstens zählbar ist. Dies bedeutet einfach, dass eine Liste erstellt werden kann, die alle Elemente der Domäne enthält.

Jede endliche Menge ist höchstens abzählbar. Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind Beispiele für höchstens abzählbare unendliche Mengen. Die Menge der reellen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen sind höchstens zählbar. Beide Sets sind unzählig. Das bedeutet, dass es nicht möglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente dieser Mengen enthält.

Eine der häufigsten diskreten Funktionen ist die Faktorialfunktion. f : N U 0 → N rekursiv definiert durch f(n) = nf(n-1) für jedes n ≥ 1 und f(0) = 1 wird die Faktorfunktion genannt. Beachten Sie, dass seine Domäne N U 0 höchstens abzählbar ist.

Was ist eine stetige Funktion?

Lassen f eine Funktion sein, so dass für jedes k in der Domäne von f, f(x) →f(k) als x → k. Dann fist eine stetige Funktion. Dies bedeutet, dass es möglich ist, zu machen f(x) willkürlich nahe an f(k) indem x für jedes k in der Domäne von ausreichend nahe an k gemacht wird f.

Betrachten Sie die Funktion f(x) = x + 2 auf R. Es ist zu sehen, dass x + k, x + 2 → k + 2 ist f(x) →f(k). Deshalb, f ist eine stetige Funktion. Jetzt überlegen G auf positive reelle Zahlen G(x) = 1, wenn x> 0 und G(x) = 0, wenn x = 0. Dann ist diese Funktion keine kontinuierliche Funktion als Grenze von G(x) existiert nicht (und ist daher nicht gleich G(0)) als x → 0.