Unterschied zwischen Laplace- und Fourier-Transformationen

Laplace vs Fourier-Transformationen
 

Sowohl die Laplace-Transformation als auch die Fourier-Transformation sind integrale Transformationen, die am häufigsten als mathematische Methoden zur Lösung mathematisch modellierter physikalischer Systeme eingesetzt werden. Der Prozess ist einfach. Ein komplexes mathematisches Modell wird mithilfe einer integralen Transformation in ein einfacheres, lösbares Modell konvertiert. Sobald das einfachere Modell gelöst ist, wird die inverse Integraltransformation angewendet, die die Lösung für das ursprüngliche Modell darstellt.

Da die meisten physikalischen Systeme beispielsweise zu Differentialgleichungen führen, können sie in algebraische Gleichungen oder zu leicht lösbaren Differentialgleichungen mit geringerer Auflösung unter Verwendung einer Integraltransformation umgewandelt werden. Dann wird es einfacher, das Problem zu lösen.

Was ist die Laplace-Transformation??

Eine Funktion gegeben f (t) einer reellen Variable t, Seine Laplace-Transformation wird durch das Integral definiert (wann immer es existiert), was eine Funktion einer komplexen Variablen ist s. Es wird normalerweise mit L bezeichnet.f (t). Die inverse Laplace-Transformation einer Funktion F(s) ist die Funktion f (t) so, dass L f (t) = F(s) und in der üblichen mathematischen Schreibweise schreiben wir: L ^-1F(s) = f (t).Die inverse Transformation kann eindeutig gemacht werden, wenn Nullfunktionen nicht zulässig sind. Man kann diese beiden als lineare Operatoren identifizieren, die im Funktionsraum definiert sind, und es ist auch leicht zu erkennen, L ^-1L f (t) = f (t), wenn Nullfunktionen nicht zulässig sind.

In der folgenden Tabelle sind die Laplace-Transformationen einiger der häufigsten Funktionen aufgeführt.

Was ist die Fourier-Transformation??

Eine Funktion gegeben f (t) einer reellen Variable t, Seine Laplace-Transformation wird durch das Integral definiert (wann immer es existiert) und wird normalerweise mit F bezeichnet. f (t). Die inverse Transformation F ^-1F(α) wird durch das Integral gegeben . Die Fourier-Transformation ist ebenfalls linear und kann als Operator betrachtet werden, der im Funktionsraum definiert ist.

Mit der Fourier-Transformation kann die ursprüngliche Funktion wie folgt geschrieben werden, vorausgesetzt, die Funktion hat nur eine begrenzte Anzahl von Diskontinuitäten und ist absolut integrierbar.

Was ist der Unterschied zwischen den Laplace- und den Fourier-Transformationen??

• Fourier-Transformation einer Funktion f (t) ist definiert als , während die Laplace-Transformation davon definiert ist .
• Die Fouriertransformation ist nur für Funktionen definiert, die für alle reellen Zahlen definiert sind. Bei der Laplace-Transformation muss die Funktion jedoch nicht definiert werden, wenn die negativen reellen Zahlen festgelegt werden.
• Die Fourier-Transformation ist ein Spezialfall der Laplace-Transformation. Es ist ersichtlich, dass beide für nicht negative reelle Zahlen übereinstimmen. (d. h. nehmen s im Laplace zu sein iα + β woher α und β sind echt so e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Jede Funktion, die eine Fourier-Transformation hat, hat eine Laplace-Transformation, jedoch nicht umgekehrt.