Unterschied zwischen Orthogonal und Orthonormal

Orthogonal vs. Orthonormal

In der Mathematik werden häufig die beiden Wörter orthogonal und orthonormal zusammen mit einer Menge von Vektoren verwendet. Der Begriff "Vektor" wird hier in dem Sinne verwendet, dass er ein Element eines Vektorraums ist - eine algebraische Struktur, die in der linearen Algebra verwendet wird. Für unsere Diskussion betrachten wir einen inneren Produktraum - einen Vektorraum V zusammen mit einem inneren Produkt [] definiert am V.

Für ein inneres Produkt ist Raum beispielsweise die Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren zusammen mit dem üblichen Punktprodukt.

Was ist orthogonal??

Eine nicht leere Teilmenge S eines inneren Produktraums V wird als orthogonal bezeichnet, wenn und nur wenn für jeden deutlich u, v im S, [u, v] = 0; das innere Produkt von u und v ist gleich dem Nullskalar im inneren Produktraum.

In der Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren ist dies beispielsweise äquivalent dazu, dies für jedes unterschiedliche Paar von Positionsvektoren zu sagen p und q in S, p und q stehen senkrecht zueinander. (Denken Sie daran, dass das innere Produkt in diesem Vektorraum das Punktprodukt ist. Außerdem ist das Punktprodukt von zwei Vektoren genau dann 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.)

Betrachten Sie das Set S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), was eine Teilmenge der 3-dimensionalen Positionsvektoren ist. Beachten Sie, dass (0,2,0). (4,0,0) = 0 ist, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Daher die Menge S ist orthogonal. Insbesondere heißt es, dass zwei Vektoren orthogonal sind, wenn ihr inneres Produkt 0 ist. Daher ist jedes Vektorpaar in Sist orthogonal.

Was ist orthonormal??

Eine nicht leere Teilmenge S eines inneren Produktraums V wird als orthonormal bezeichnet, wenn und nur wenn S ist orthogonal und für jeden Vektor u im S, [u, u] = Daher ist ersichtlich, dass jeder orthonormale Satz orthogonal ist, nicht jedoch umgekehrt.

In der Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren ist dies beispielsweise äquivalent dazu, dies für jedes unterschiedliche Paar von Positionsvektoren zu sagen p und q im S, p und q sind senkrecht zueinander und für jeden p im S, | p | = 1. Dies liegt an der Bedingung [p, p] = 1 reduziert auf p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, was äquivalent ist zu | p | = Daher können wir bei gegebener orthogonaler Menge immer eine entsprechende orthonormale Menge bilden, indem wir jeden Vektor durch seine Größe teilen.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) ist eine orthonormale Untermenge der Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren. Es ist leicht zu sehen, dass es durch Teilen jedes Vektors im Satz erhalten wurde S, von ihrer Größe.

Was ist der Unterschied zwischen Orthogonal und Orthonormal??

• Eine nicht leere Teilmenge S eines inneren Produktraums V wird als orthogonal bezeichnet, wenn und nur wenn für jeden Unterschied u, v im S, [u, v] = 0. Es ist jedoch orthonormal, wenn und nur dann, wenn für jeden Vektor eine zusätzliche Bedingung gilt u im S, [u, u] = 1 ist zufrieden.
• Jeder orthonormale Satz ist orthogonal, jedoch nicht umgekehrt.
• Jeder orthogonale Satz entspricht einem eindeutigen orthonormalen Satz, ein orthonormaler Satz kann jedoch vielen orthogonalen Sätzen entsprechen.