Unterschied zwischen der Power-Serie und der Taylor-Serie
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Power Series gegen Taylor Series
In der Mathematik ist eine reelle Sequenz eine geordnete Liste von reellen Zahlen. Formal ist es eine Funktion von der Menge der natürlichen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen. Ob einnist das nth Begriff einer Sequenz bezeichnen wir die Sequenz mit oder durch ein1, ein2,… ,einn,… .Betrachten Sie zum Beispiel die Reihenfolge 1, ½, ⅓,… , 1/n,…. Es kann als 1 / n bezeichnet werden..
Es ist möglich, eine Reihe mit Sequenzen zu definieren. Eine Serie ist die Summe der Terme einer Sequenz. Daher gibt es für jede Sequenz eine zugehörige Sequenz und umgekehrt. Wenn einen ist die betrachtete Sequenz, dann kann die durch diese Sequenz gebildete Serie folgendermaßen dargestellt werden:
Im obigen Beispiel ist die zugehörige Serie also 1+1/2+1/3+… + 1/n +… .
Wie die Namen vermuten lassen, handelt es sich bei der Potenzreihe um eine spezielle Art von Reihen, die in der Numerischen Analyse und der dazugehörigen mathematischen Modellierung umfangreich verwendet wird. Bei der Taylor-Serie handelt es sich um eine spezielle Power-Serie, die eine alternative und einfach zu handhabende Darstellung bekannter Funktionen bietet.
Was ist die Power-Serie??
Eine Potenzreihe ist eine Serie der Form
das ist konvergent (möglicherweise) für ein Intervall, das auf zentriert ist c. Die Koeffizienten einn kann reelle oder komplexe Zahlen sein und ist unabhängig von x; d.h.. die Dummy-Variable.
Zum Beispiel durch Einstellung einn= 1 für jeden n, und c = 0, die Potenzreihe 1 + x + x2+… + Xn+… Wird erhalten. Es ist leicht zu beobachten, dass wenn x ε (-1,1), diese Potenzreihe auf 1 / (1-x) konvergiert..
Eine Potenzreihe konvergiert, wenn x = c. Die anderen Werte von x für die die Potenzreihe konvergiert, hat immer die Form eines offenen Intervalls mit dem Mittelpunkt c. Das ist, es wird ein Wert 0 ≤ sein R ≤ ∞ so dass für jeden x befriedigend | x-c | ≤R, Die Power-Serie ist konvergent und für jeden x befriedigend | x-c |>R, Die Power-Serie ist unterschiedlich. Dieser Wert R wird als Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet (R kann einen echten Wert oder eine positive Unendlichkeit annehmen).
Potenzreihen können mit den folgenden Regeln hinzugefügt, subtrahiert, multipliziert und aufgeteilt werden. Betrachten Sie die zwei Potenzreihen:
.
Dann,
d.h.. Gleiche Begriffe werden zusammen addiert oder subtrahiert. Es ist auch möglich, die zwei Potenzreihen unter Verwendung der Identität zu multiplizieren und zu teilen,
Was ist die Taylor-Serie??
Taylor-Reihen sind für eine Funktion definiert f(x) das ist in einem Intervall unendlich differenzierbar. Annehmen f(x) ist differenzierbar nach einem Intervall, dessen Mittelpunkt bei steht c. Dann die Potenzreihe, die durch gegeben ist
wird als Taylor-Serienerweiterung der Funktion bezeichnet f(x) Über c. (Hier f(n)(c) Bezeichnen das nth Derivat bei x = c). In der Numerischen Analyse wird eine endliche Anzahl von Ausdrücken in dieser unendlichen Erweiterung verwendet, um Werte an Punkten zu berechnen, an denen die Reihe zur ursprünglichen Funktion konvergiert.
Eine Funktion f(x) soll im Intervall analytisch sein (a, b), wenn für jedes x & epsi; (a, b) die Taylorreihe von f(x) konvergiert zur Funktion f(x). Zum Beispiel ist 1 / (1-x) auf (-1,1) seit seiner Taylor-Expansion 1 + x + x analytisch2+… + Xn+… Konvergiert in diesem Intervall mit der Funktion und ex ist überall analytisch, seit der Taylor-Serie von exkonvergiert zu ex für jede reelle Zahl x.
Was ist der Unterschied zwischen der Power-Serie und der Taylor-Serie??
1. Die Taylor-Serie ist eine spezielle Klasse von Potenzreihen, die nur für Funktionen definiert werden, die in einem offenen Intervall unendlich differenzierbar sind.
2. Taylor-Serien nehmen die besondere Form an
Eine Potenzreihe kann jedoch eine beliebige Serie der Form sein
