Unterschied zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufällige Variablen vs. Wahrscheinlichkeitsverteilung

Statistische Experimente sind Zufallsexperimente, die mit bekannten Ergebnissen endlos wiederholt werden können. Mit solchen Experimenten sind sowohl Zufallsvariablen als auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen verknüpft. Für jede Zufallsvariable gibt es eine zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Funktion definiert wird, die als kumulative Verteilungsfunktion bezeichnet wird.

Was ist eine Zufallsvariable??

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines statistischen Experiments numerische Werte zuordnet. Mit anderen Worten, es ist eine Funktion, die aus dem Stichprobenraum eines statistischen Experiments in die Menge der reellen Zahlen definiert wird.

Betrachten Sie beispielsweise ein zufälliges Experiment, bei dem eine Münze zweimal geworfen wird. Mögliche Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT (H - Köpfe, T - Geschichten). Die Variable X sei die Anzahl der Köpfe, die im Experiment beobachtet wurden. Dann kann X die Werte 0, 1 oder 2 annehmen und ist eine Zufallsvariable. Hier ordnet die Zufallsvariable X die Menge S = HH, HT, TH, TT (den Abtastraum) der Menge 0, 1, 2 so zu, dass HH auf 2, HT und TH abgebildet wird werden auf 1 abgebildet und TT wird auf 0 abgebildet. In der Funktionsschreibweise kann dies als X: S → R geschrieben werden, wobei X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 und X ( TT) = 0.

Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen: diskret und kontinuierlich. Dementsprechend kann die Anzahl der möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, höchstens gezählt werden oder nicht. Im vorherigen Beispiel ist die Zufallsvariable X eine diskrete Zufallsvariable, da 0, 1, 2 eine endliche Menge ist. Betrachten Sie nun das statistische Experiment zum Ermitteln der Gewichte von Schülern in einer Klasse. Sei Y die Zufallsvariable, die als Gewicht eines Studenten definiert wird. Y kann innerhalb eines bestimmten Intervalls einen beliebigen Wert annehmen. Daher ist Y eine kontinuierliche Zufallsvariable.

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung??

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt.

Eine Funktion, die als kumulative Verteilungsfunktion (F) bezeichnet wird, kann von der Menge der reellen Zahlen bis zur Menge der reellen Zahlen als F (x) = P (X ≤ x) definiert werden (die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich x ist) jedes mögliche Ergebnis x. Nun kann die kumulative Verteilungsfunktion von X im ersten Beispiel als F (a) = 0 geschrieben werden, wenn a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Bei diskreten Zufallsvariablen kann eine Funktion aus der Menge möglicher Ergebnisse bis zur Menge reeller Zahlen definiert werden, so dass ƒ (x) = P (X = x) gilt (die Wahrscheinlichkeit von x ist gleich x) für jedes mögliche Ergebnis x. Diese spezielle Funktion f wird als Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen X bezeichnet. Nun kann die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X im ersten bestimmten Beispiel als f (0) = 0,25, f (1) = 0,5, f (2) geschrieben werden. Ansonsten = 0,25 und f (x) = 0. Somit beschreibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X im ersten Beispiel.

Bei kontinuierlichen Zufallsvariablen kann eine als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (f) bezeichnete Funktion für jedes x als f (x) = dF (x) / dx definiert werden, wobei F die kumulative Verteilungsfunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen ist. Es ist leicht zu sehen, dass diese Funktion ∫ƒ (x) dx = 1 erfüllt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Zum Beispiel wird die Normalverteilung (die eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist) unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (x) = 1 / √ (2πσ) beschrieben²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).