Unterschied zwischen Riemann Integral und Lebesgue Integral

Riemann Integral vs. Lebesgue Integral

Integration ist ein Hauptthema im Kalkül. In einem broderen Sinn kann Integration als umgekehrter Differenzierungsprozess angesehen werden. Bei der Modellierung realer Probleme ist es leicht, Ausdrücke zu schreiben, die Ableitungen enthalten. In einer solchen Situation ist der Integrationsvorgang erforderlich, um die Funktion zu finden, die die bestimmte Ableitung ergab.

Unter einem anderen Blickwinkel ist Integration ein Prozess, der das Produkt einer Funktion f (x) und δx zusammenfasst, wobei δx dazu neigt, eine bestimmte Grenze zu sein. Aus diesem Grund verwenden wir das Integrationssymbol als. Das Symbol ∫ ist in der Tat das, was wir erhalten, indem wir die Buchstaben s strecken, um sich auf die Summe zu beziehen.

Riemann Integral

Betrachten Sie eine Funktion y = ƒ (x). Das Integral von y zwischen ein und b, woher ein und b zu einer Menge x gehören, wird als geschrieben _b∫^einƒ (x) dx = [F(x)]_ein→b = F(b) - F(ein). Dies wird als ein bestimmtes Integral der einwertigen und stetigen Funktion y = f (x) zwischen a und b bezeichnet. Dies gibt die Fläche unter der Kurve dazwischen an ein und b. Dies wird auch als Riemann-Integral bezeichnet. Riemann Integral wurde von Bernhard Riemann erstellt. Das Riemann'sche Integral einer stetigen Funktion basiert auf dem Jordan-Maß und wird daher auch als Grenze der Riemann-Summen der Funktion definiert. Für eine mit einem geschlossenen Intervall definierte Funktion mit echtem Wert das Riemann'sche Integral der Funktion in Bezug auf eine Partition x₁, x₂,…, X_n definiert für das Intervall [a, b] und t₁, t₂,…, T_n, wo x_ich ≤ t_ich ≤ x_{i + 1} Für jedes i ε 1, 2,…, n ist die Riemann-Summe als Σ definiert_{i = o bis n-1} ƒ (t_ich) (x_{i + 1} - x_ich).

Lebesgue Integral

Lebesgue ist eine andere Art von Integral, das eine Vielzahl von Fällen abdeckt als das Riemann-Integral. Das Lebesgue-Integral wurde 1902 von Henri Lebesgue eingeführt. Die Legesgue-Integration kann als Verallgemeinerung der Riemann-Integration betrachtet werden.

Warum müssen wir ein anderes Integral studieren??

Betrachten wir die charakteristische Funktion ƒ_{A (x) = 0 wenn x nicht ε A}^{1 wenn x & epsi; A} auf einer Menge A. Dann endliche lineare Kombination von charakteristischen Funktionen, die als definiert wird F(x) = Σ a_ichƒE_ich(x) heißt die einfache Funktion if E_ich ist für jedes i messbar. Das Lebesgue-Integral von F(x) vorbei E wird mit bezeichnet _E(X) dx. Die Funktion F(x) ist nicht Riemann integrierbar. Daher ist das Lebesgue-Integral das Riemann-Integral, das einige Einschränkungen hinsichtlich der zu integrierenden Funktionen enthält.