Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen

Der Begriff „Zahlen“ erinnert uns daran, was allgemein als positive ganzzahlige Werte größer als Null eingestuft wird. Andere Zahlenklassen beinhalten ganze Zahlen und Fraktionen, Komplex und reale Nummern und auch negative ganzzahlige Werte.

Durch die Erweiterung der Klassifikationen von Zahlen stoßen wir auf rational und irrational Zahlen. Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch geschrieben werden kann. Mit anderen Worten, die rationale Zahl kann als Verhältnis zweier Zahlen geschrieben werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Nummer 6. Es kann als das Verhältnis zweier Zahlen geschrieben werden, nämlich. 6 und 1, führt zu dem Verhältnis 6/1. Gleichfalls, 2/3, was als Bruch geschrieben wird, ist eine rationale Zahl.

Wir können also eine rationale Zahl als eine Zahl definieren, die in Form eines Bruchs geschrieben ist, wobei sowohl der Zähler (die Zahl oben) als auch der Nenner (die Zahl unten) ganze Zahlen sind. Per Definition ist daher jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl.

Ein Verhältnis von zwei großen Zahlen wie (129,367,871)/(547,724,863) wäre auch ein Beispiel für eine rationale Zahl aus dem einfachen Grund, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sind.

Umgekehrt wird jede Zahl, die nicht in Form eines Bruchs oder eines Verhältnisses ausgedrückt werden kann, als irrational bezeichnet. Das am häufigsten genannte Beispiel einer irrationalen Zahl ist √2 (1.414213…). Ein weiteres beliebtes Beispiel für eine irrationale Zahl ist die numerische Konstante π (3.141592… ).

Eine irrationale Zahl kann als Dezimalzahl geschrieben werden, jedoch nicht als Bruchzahl. Irrationale Zahlen werden im täglichen Leben nicht oft verwendet, obwohl sie in der Nummernzeile vorhanden sind. Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen 0 und 1 in der nummerzeile. Eine irrationale Zahl hat endlose, sich nicht wiederholende Ziffern rechts vom Dezimalpunkt.

Beachten Sie, dass der oft genannte Wert von 22/7 für die Konstante π ist eigentlich nur einer der Werte von π. Per Definition ist der Umfang eines Kreises geteilt durch das Doppelte seines Radius der Wert von π. Dies führt zu mehreren Werten von π, einschließlich, aber nicht beschränkt auf, 333/106, 355/113 und so weiter1.

Nur die Quadratwurzeln der Quadratzahlen; die Quadratwurzeln der perfekte Quadrate sind rational.

√1= 1 (Rational)

√2 (Irrational)

√3 (Irrational)

√4 = 2 (Rational)

5, 6, 7, 8 (Irrational)

√9 = 3 (Rational) und so weiter.

Weiterhin stellen wir fest, dass nur die ndie Wurzeln von nDie Kräfte sind rational. Und so kam es dass der 6. Wurzel von 64 ist rational, weil 64 ist ein 6. Macht, nämlich die 6. Kraft von 2. Aber die 6. Wurzel von 63 ist irrational. 63 ist nicht perfekt 6th Leistung.

Die dezimale Darstellung von Irrationalen kommt unweigerlich ins Bild und wirft interessante Ergebnisse auf.

Wenn wir a ausdrücken rational Zahl als Dezimalzahl, dann ist entweder die Dezimalzahl genau (wie in 1/5= 0,20) oder es wird sein ungenau (wie in, 1/3 0,3333). In beiden Fällen gibt es ein vorhersagbares Muster von Ziffern. Beachten Sie, wenn ein irrational Zahl wird als Dezimalzahl ausgedrückt, dann wird sie eindeutig ungenau, da sonst die Zahl rational wäre.

Darüber hinaus wird es kein vorhersagbares Ziffernmuster geben. Zum Beispiel,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Nun, mit rationalen Zahlen, begegnen wir gelegentlich 1/11 = 0,0909090.

Die Verwendung beider Gleichheitszeichen (=) und drei Punkte (Ellipse) impliziert, dass es jedoch nicht möglich ist auszudrücken 1/11 als Dezimalzahl können wir es immer noch mit so vielen Dezimalstellen approximieren, wie erlaubt ist, sich annähern zu dürfen 1/11.

Somit ist die Dezimalform von 1/11 gilt als ungenau. Ebenso die Dezimalform von  ¼ das ist 0,25, ist genau.

In der Dezimalform für irrationale Zahlen werden sie immer ungenau sein. Weiter mit dem Beispiel von √2, wenn wir schreiben 2 = 1,41421356237… (Beachten Sie die Verwendung von Ellipsen), bedeutet dies sofort, dass keine Dezimalstelle für √2 wird genau sein. Ferner gibt es kein vorhersagbares Ziffernmuster. Unter Verwendung von Begriffen aus numerischen Methoden können wir uns für so viele Dezimalstellen wie bis zu einem Punkt, an dem wir uns nähern, rational annähern √2.

Jede Anmerkung zu rationalen und irrationalen Zahlen kann nicht ohne den obligatorischen Beweis enden, warum √2 irrational ist. Dabei erläutern wir auch das klassische Beispiel von a Nachweis durch FortsRadiation.

Angenommen, √2 ist rational. Dies führt dazu, dass wir es beispielsweise als Verhältnis zweier Ganzzahlen darstellen p und q.

√2 = p / q

unnötig zu erwähnen, p und q haben keine Gemeinsamkeiten, denn wenn es Gemeinsamkeiten gäbe, hätten wir sie vom Zähler und vom Nenner gestrichen.

Um beide Seiten der Gleichung zu quadrieren, enden wir mit,

2 = p2 / q2

Dies kann bequem als geschrieben werden,

p2 = 2q2

Die letzte Gleichung legt das nahe p2 ist gerade Dies ist nur möglich wenn p selbst ist gerade. Das wiederum impliziert das p2 ist teilbar durch 4. Daher, q2 und folglich q muss gerade sein So p und q beide sind sogar ein Widerspruch zu unserer ursprünglichen Annahme, dass sie keine gemeinsamen Faktoren haben. Somit, √2 kann nicht rational sein Q.E.D.