Unterschied zwischen Arithmetik und geometrischen Reihen

Arithmetik gegen geometrische Serie
 

Die mathematische Definition einer Serie hängt eng mit den Sequenzen zusammen. Eine Sequenz ist eine geordnete Menge von Zahlen und kann entweder eine endliche oder eine unendliche Menge sein. Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei Elementen eine Konstante ist, wird als arithmetische Progression bezeichnet. Eine Sequenz mit einem konstanten Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen wird als geometrische Progression bezeichnet. Diese Progressionen können entweder endlich oder unendlich sein, und wenn sie endlich sind, kann die Anzahl der Terme gezählt werden, andernfalls unzählbar.

Im Allgemeinen kann die Summe der Elemente in einer Folge als Reihe definiert werden. Die Summe einer arithmetischen Progression wird als arithmetische Reihe bezeichnet. Ebenso wird die Summe eines geometrischen Verlaufs als geometrische Reihe bezeichnet.

Mehr über die Arithmetik-Serie

In einer arithmetischen Serie haben die aufeinanderfolgenden Terme einen konstanten Unterschied.

S_n = a₁ + ein₂ + ein₃ + ein₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i = 1} ein_ich ; wo ein₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d und so weiter.

Diese Differenz d ist als die gemeinsame Differenz und das n bekannt^th Begriff ist gegeben durch a_n = a₁+ (n-1) d; wo ein₁ ist der erste Begriff.

Das Verhalten der Serie ändert sich basierend auf dem gemeinsamen Unterschied d. Wenn der gemeinsame Unterschied positiv ist, ist die Progression tendenziell eine positive Unendlichkeit, und wenn der gemeinsame Unterschied negativ ist, tendiert er zur negativen Unendlichkeit.

Die Summe der Reihen kann durch die folgende einfache Formel erhalten werden, die zuerst vom indischen Astronomen und Mathematiker Aryabhata entwickelt wurde.

S_n = n / 2 (a₁+ ein_n ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

Die Summe S_n kann entweder endlich oder unendlich sein, basierend auf der Anzahl der Terme.

Mehr über Geometric Series

Eine geometrische Reihe ist eine Reihe mit dem Quotienten der aufeinander folgenden Zahlenkonstante. Es ist eine wichtige Serie, die in der Studie der Serie aufgrund ihrer Eigenschaften gefunden wurde.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} ar^ich

Basierend auf dem Verhältnis r kann das Verhalten der Serie wie folgt kategorisiert werden. r = | r | ≥1 Reihe divergiert; r ≤ 1 Reihe konvergiert. Auch wenn r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Die Summe der geometrischen Reihen kann mit der folgenden Formel berechnet werden. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); wobei a der anfängliche Ausdruck ist und r das Verhältnis ist. Wenn das Verhältnis r ≤ 1 ist, konvergiert die Reihe. Für eine unendliche Reihe wird der Wert der Konvergenz durch S angegeben_n= a / (1-r).

Geometrische Serien haben zahlreiche Anwendungen in den Bereichen Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft

Was ist der Unterschied zwischen Arithmetik und Geometric Series??

• Eine arithmetische Reihe ist eine Reihe mit einer konstanten Differenz zwischen zwei benachbarten Termen.

• Eine geometrische Reihe ist eine Reihe mit einem konstanten Quotienten zwischen zwei aufeinander folgenden Termen.

• Alle unendlichen arithmetischen Reihen sind immer divergent, aber abhängig vom Verhältnis können die geometrischen Reihen entweder konvergent oder divergent sein.

• Die geometrische Reihe kann in den Werten Schwingungen aufweisen. Das heißt, die Zahlen ändern ihre Vorzeichen abwechselnd, aber die Arithmetikreihe kann keine Schwingungen aufweisen.