Unterschied zwischen Ableitung und Differenz

Ableitung vs. Differenzial
 

Im Differentialkalkül sind Ableitung und Differential einer Funktion eng miteinander verbunden, haben jedoch sehr unterschiedliche Bedeutungen und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Objekte darzustellen, die sich auf differenzierbare Funktionen beziehen.

Was ist abgeleitet??

Die Ableitung einer Funktion misst die Rate, mit der sich der Funktionswert ändert, wenn sich seine Eingabe ändert. Bei Funktionen mit mehreren Variablen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. In solchen Fällen wird daher eine bestimmte Richtung gewählt und die Funktion wird in dieser bestimmten Richtung unterschieden. Diese Ableitung wird Richtungsableitung genannt. Partielle Ableitungen sind eine spezielle Art von gerichteten Ableitungen.

Ableitung einer vektorwertigen Funktion f kann als Grenze definiert werden wo es endlich existiert. Wie bereits erwähnt, gibt uns dies die Zuwachsrate der Funktion f entlang der Richtung des Vektors u. Im Falle einer einwertigen Funktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition des Derivats,  

Zum Beispiel, ist überall unterscheidbar, und die Ableitung ist gleich der Grenze, , das ist gleich . Die Ableitungen von Funktionen wie   gibt es überall Sie sind jeweils gleich den Funktionen .                                                                                

Dies ist als erste Ableitung bekannt. Normalerweise die erste Ableitung der Funktion f wird mit bezeichnet f ⁽¹⁾. Mit dieser Notation können nun Ableitungen höherer Ordnung definiert werden. ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die n^th Ableitung von f ⁽ⁿ⁾ für jeden n, ,  definiert das n^th Derivat.

Was ist ein Unterschied??

Das Differential einer Funktion repräsentiert die Änderung der Funktion in Bezug auf Änderungen der unabhängigen Variablen oder Variablen. In der üblichen Notation für eine bestimmte Funktion f einer einzelnen Variablen x, die Gesamtdifferenz der Ordnung 1 df ist gegeben von, . Dies bedeutet, dass für eine infinitesimale Änderung in x(d. h. dx) gibt es eine  f ⁽¹⁾(x) dx verändern in f.

Mit Grenzwerten kann man diese Definition wie folgt enden. Angenommen ∆x ist die Änderung in x an einem beliebigen Punkt x und ∆f ist die entsprechende Änderung in der Funktion f. Es kann gezeigt werden, dass ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, wo ϵ ist der Fehler. Nun ist das Limit ∆x →0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (unter Verwendung der zuvor genannten Ableitung) und somit andx →0^ϵ/_∆x= 0. Daher kann man daraus schließen, ∆x →0ϵ = 0. Nun wird mit ∆ bezeichnetx →0 ∆f als df und ∆x →0 ∆x als dx Die Definition des Differentials wird konsequent ermittelt. 

Zum Beispiel das Differential der Funktion ist .

Bei Funktionen von zwei oder mehr Variablen wird die Gesamtdifferenz einer Funktion als Summe der Differentiale in den Richtungen jeder der unabhängigen Variablen definiert. Mathematisch kann es als angegeben werden .