Unterschied zwischen Ableitung und Integral

Ableitung gegen Integral

Differenzierung und Integration sind zwei grundlegende Operationen in Calculus. Sie haben zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Mathematik, Ingenieurwissenschaften und Physik. Sowohl Ableitung als auch Integral diskutieren das Verhalten einer Funktion oder eines Verhaltens einer physischen Entität, die uns interessiert.

Was ist Ableitung??

Angenommen, y = f (x) und x₀ ist in der Domäne von ƒ. Dann lim_{Δx → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[ƒ (x₀+Δx) - f (x₀)] / Δx heißt die momentane Änderungsrate von f bei x₀, vorausgesetzt, diese Grenze existiert endlich. Diese Grenze wird auch als Ableitung von at bezeichnet und mit f (x) bezeichnet..

Der Wert der Ableitung einer Funktion f an einem beliebigen Punkt x Im Bereich der Funktion wird von lim angegeben_{Δx → ∞}[f (x + Δx) - f (x)] / Δx. Dies wird durch einen der folgenden Ausdrücke bezeichnet: y, f (x), f, d f (x) / dx, d f / dx, D_xy.

Für Funktionen mit mehreren Variablen definieren wir eine partielle Ableitung. Die partielle Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen ist ihre Ableitung in Bezug auf eine dieser Variablen, vorausgesetzt, die anderen Variablen sind Konstanten. Das Symbol der partiellen Ableitung ist ∂.

Geometrisch kann die Ableitung einer Funktion als Steigung der Kurve der Funktion ƒ (x) interpretiert werden..

Was ist Integral??

Integration oder Differenzierung ist der umgekehrte Prozess der Differenzierung. Mit anderen Worten, es ist der Prozess des Findens einer ursprünglichen Funktion, wenn die Ableitung der Funktion gegeben ist. Daher ist ein Integral oder eine Anti-Ableitung einer Funktion f (x), wenn f (x) =F(x) kann als Funktion definiert werden F(x) für alle x in der Domäne von (x).

Der Ausdruck ∫ƒ (x) dx bezeichnet die Ableitung der Funktion ƒ (x). Wenn f (x) =F(x), dann ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, wobei C eine Konstante ist, wird ∫ƒ (x) dx das unbestimmte Integral von ƒ (x).

Für jede Funktion ƒ, die nicht notwendigerweise nicht negativ ist und im Intervall [a, b] definiert ist, _ein∫^bƒ (x) dx heißt das definitive Integral ƒ auf [a, b].

Das definitive Integral _ein∫^bƒ (x) dx einer Funktion ƒ (x) kann geometrisch als der durch die Kurve ƒ (x), die x-Achse und die Linien x = a und x = b begrenzte Bereich der Region interpretiert werden.