Unterschied zwischen Integration und Summation

Integration vs. Summation
 

In der Mathematik oberhalb der Schule werden Integration und Summation oft in mathematischen Operationen gefunden. Sie werden scheinbar als verschiedene Werkzeuge und in verschiedenen Situationen verwendet, sie haben jedoch eine sehr enge Beziehung.

Mehr über Summation

Summation ist das Hinzufügen einer Zahlenfolge, und die Operation wird häufig mit dem griechischen Großbuchstaben Sigma Σ bezeichnet. Es wird verwendet, um die Summation abzukürzen und gleich der Summe / Summe der Sequenz zu sein. Sie werden oft verwendet, um die Serie darzustellen, die im Wesentlichen unendliche Sequenzen sind. Sie können auch verwendet werden, um die Summe der Vektoren, Matrizen oder Polynome anzuzeigen.

Die Summation wird normalerweise für einen Bereich von Werten durchgeführt, der durch einen allgemeinen Begriff dargestellt werden kann, beispielsweise eine Reihe, die einen gemeinsamen Ausdruck hat. Der Startpunkt und der Endpunkt der Summation sind als Untergrenze bzw. Obergrenze der Summation bekannt.

Zum Beispiel die Summe der Sequenz a₁, ein₂, ein₃, ein₄, … , ein_n ist ein₁ + ein₂ + ein₃ +… + A_n das kann leicht mit der Summennotation als represented dargestellt werdenⁿ_{i = 1} ein_ich; Ich werde den Summationsindex genannt.

Viele Variationen werden für die Summierung basierend auf der Anwendung verwendet. In einigen Fällen können die obere Grenze und die untere Grenze als Intervall oder Bereich angegeben werden, z. B. ∑_{1 ≤ i ≤ 100} ein_ich und ∑_{i∈ [1.100]} ein_ich. Oder es kann als Zahlenmenge wie ∑ angegeben werden_i∈P ein_ich , wobei P eine definierte Menge ist.

In einigen Fällen können zwei oder mehr Sigma-Zeichen verwendet werden, sie können jedoch wie folgt verallgemeinert werden. ∑_j ∑_k ein_jk = ∑_{j, k} ein_jk.

Die Summation folgt auch vielen algebraischen Regeln. Da die eingebettete Operation die Addition ist, können viele der allgemeinen Regeln der Algebra auf die Summen selbst und auf die einzelnen durch die Summation dargestellten Begriffe angewendet werden.

Mehr zur Integration

Die Integration wird als umgekehrter Differenzierungsprozess definiert. In seiner geometrischen Ansicht kann es jedoch auch als die von der Kurve der Funktion und der Achse eingeschlossene Fläche betrachtet werden. Daher ergibt die Berechnung der Fläche den Wert eines bestimmten Integrals, wie im Diagramm gezeigt.

Bildquelle: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Der Wert des bestimmten Integrals ist tatsächlich die Summe der kleinen Streifen innerhalb der Kurve und der Achse. Die Fläche jedes Streifens ist die Höhe × Breite am Punkt der betrachteten Achse. Breite ist ein Wert, den wir wählen können, beispielsweise ∆x. Die Höhe ist ungefähr der Wert der Funktion an dem betrachteten Punkt f(x_ich). Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass je kleiner die Streifen sind, desto besser passen die Streifen in den begrenzten Bereich, wodurch der Wert besser angenähert wird.

Im Allgemeinen also das definitive Integral ich, zwischen den Punkten a und b (d. h. im Intervall [a, b], wobei aich ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, wobei n die Anzahl der Streifen ist (n = (b-a) / ∆x). Diese Summation des Bereichs kann mit der Summationsnotation als einfach dargestellt werden ich ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_ich) ∆x. Da die Annäherung besser ist, wenn ∆x kleiner ist, können wir den Wert berechnen, wenn ∆x → 0 ist. Daher ist es vernünftig zu sagen ich = lim_{X → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_ich) ∆x.

Als Verallgemeinerung des obigen Konzepts können wir ∆x basierend auf dem betrachteten Intervall wählen, das durch i indiziert ist (Auswählen der Breite des Bereichs basierend auf der Position). Dann bekommen wir

ich= lim_{X → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_ich) ∆x_ich = _ein∫^b f(x) dx

Dies wird als Reimann-Integral der Funktion bezeichnet f(x) im Intervall [a, b]. In diesem Fall sind a und b als obere und untere Grenze des Integrals bekannt. Reimann Integral ist eine Grundform aller Integrationsmethoden.

Im Wesentlichen ist die Integration die Summe der Fläche, wenn die Breite des Rechtecks ​​unendlich klein ist.

Was ist der Unterschied zwischen Integration und Summation??

• Summation ist das Aufsummieren einer Zahlenfolge. Normalerweise wird die Summation in dieser Form angegebenⁿ_{i = 1} ein_ich wenn die Ausdrücke in der Sequenz ein Muster haben und unter Verwendung eines allgemeinen Begriffs ausgedrückt werden können.

• Integration ist im Wesentlichen der Bereich, der durch die Funktionskurve, die Achse sowie die oberen und unteren Grenzen begrenzt wird. Diese Fläche kann als Summe der viel kleineren Flächen angegeben werden, die in der begrenzten Fläche enthalten sind.

• Summation beinhaltet die diskreten Werte mit der oberen und der unteren Grenze, während die Integration kontinuierliche Werte beinhaltet.

• Integration kann als spezielle Form der Summation interpretiert werden.

• Bei numerischen Berechnungsmethoden wird die Integration immer als Summation durchgeführt.