Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen

Lineare vs. nichtlineare Differentialgleichungen
 

Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialkoeffizienten oder eine Ableitung einer unbekannten Variablen enthält, wird als Differentialgleichung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann entweder linear oder nichtlinear sein. In diesem Artikel soll erklärt werden, was eine lineare Differentialgleichung ist, was eine nichtlineare Differentialgleichung ist und was der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen ist.

Seit der Entwicklung des Kalküls im 18. Jahrhundert durch die Mathematiker wie Newton und Leibnitz hat die Differentialgleichung eine wichtige Rolle in der Geschichte der Mathematik gespielt. Differentialgleichungen sind aufgrund ihres Anwendungsbereichs in der Mathematik von großer Bedeutung. Differentialgleichungen bilden den Kern jedes Modells, das wir entwickeln, um jedes Szenario oder Ereignis auf der Welt zu erklären, sei es in Physik, Technik, Chemie, Statistik, Finanzanalyse oder Biologie (die Liste ist endlos). In der Tat standen die mathematischen Werkzeuge zur Analyse der interessanten Probleme in der Natur nicht zur Verfügung, bis sich der Kalkül zu einer etablierten Theorie entwickelte.

Resultierende Gleichungen aus einer bestimmten Anwendung des Kalküls können sehr komplex und manchmal nicht lösbar sein. Es gibt jedoch einige, die wir lösen können, die aber ähnlich und verwirrend aussehen können. Zur leichteren Identifikation werden Differentialgleichungen daher nach ihrem mathematischen Verhalten kategorisiert. Linear und nichtlinear ist eine solche Kategorisierung. Es ist wichtig, den Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen zu ermitteln.

Was ist eine lineare Differentialgleichung??

Nehme an, dass f: X → Y und f (x) = y, a Differentialgleichung ohne nichtlineare Terme der unbekannten Funktion y und ihre Ableitungen sind als lineare Differentialgleichung bekannt.

Sie setzt die Bedingung voraus, dass y keine höheren Indexbegriffe wie y haben kann², y³,… Und eine Vielzahl von Derivaten wie 

Es darf auch keine nicht linearen Ausdrücke wie Sin enthalten y, e^{y^ -2}, oder ln y. Es nimmt die Form an, 

woher y und G sind Funktionen von x. Die Gleichung ist eine Differentialgleichungsordnung n, Dies ist der Index der Ableitung höchster Ordnung.

In einer linearen Differentialgleichung ist der Differentialoperator ein linearer Operator und die Lösungen bilden einen Vektorraum. Aufgrund der linearen Natur des Lösungssatzes ist eine lineare Kombination der Lösungen auch eine Lösung für die Differentialgleichung. Wenn ja y₁ und y₂ sind also Lösungen der Differentialgleichung C₁ y₁+ C₂ y₂ ist auch eine Lösung.

Die Linearität der Gleichung ist nur ein Parameter der Klassifizierung und kann weiter in homogene oder nicht-homogene und gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen unterteilt werden. Wenn die Funktion ist G= 0, dann ist die Gleichung eine lineare homogene Differentialgleichung. Ob f ist eine Funktion von zwei oder mehr unabhängigen Variablen (f: X, T → Y) und f (x, t) = y , dann ist die Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung.

Die Lösungsmethode für die Differentialgleichung hängt von der Art und den Koeffizienten der Differentialgleichung ab. Der einfachste Fall tritt auf, wenn die Koeffizienten konstant sind. Klassisches Beispiel für diesen Fall ist Newtons zweites Bewegungsgesetz und seine verschiedenen Anwendungen. Newtons zweiter Satz erzeugt eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Was ist eine nichtlineare Differentialgleichung??

Gleichungen, die nichtlineare Terme enthalten, werden als nichtlineare Differentialgleichungen bezeichnet.

 

Alle oben genannten sind nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Differentialgleichungen sind schwer zu lösen, daher ist eine genaue Untersuchung erforderlich, um eine korrekte Lösung zu erhalten. Bei partiellen Differentialgleichungen haben die meisten Gleichungen keine allgemeine Lösung. Daher muss jede Gleichung unabhängig behandelt werden.

Die Navier-Stokes-Gleichung und die Euler-Gleichung in der Fluiddynamik, Einsteins Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie, sind wohlbekannte nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Manchmal kann die Anwendung der Lagrange-Gleichung auf ein variables System zu einem System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen führen.

Was ist der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen??

• Eine Differentialgleichung, die nur die linearen Terme der unbekannten oder abhängigen Variablen und ihre Ableitungen enthält, wird als lineare Differentialgleichung bezeichnet. Es hat keine Benennung mit der abhängigen Variablen des Index höher als 1 und enthält kein Vielfaches seiner Derivate. Es kann keine nichtlinearen Funktionen wie trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen in Bezug auf die abhängige Variable haben. Jede Differentialgleichung, die die oben genannten Ausdrücke enthält, ist eine nichtlineare Differentialgleichung.

• Lösungen linearer Differentialgleichungen erzeugen einen Vektorraum und der Differentialoperator ist auch ein linearer Operator im Vektorraum.

• Lösungen linearer Differentialgleichungen sind relativ einfacher und es gibt allgemeine Lösungen. Für nichtlineare Gleichungen existiert in den meisten Fällen keine allgemeine Lösung, und die Lösung kann problemspezifisch sein. Dies macht die Lösung viel schwieriger als die linearen Gleichungen.