Unterschied zwischen linearer Gleichung und quadratischer Gleichung

Lineare Gleichung vs. Quadratische Gleichung

In der Mathematik sind algebraische Gleichungen Gleichungen, die unter Verwendung von Polynomen gebildet werden. Wenn explizit geschrieben, haben die Gleichungen die Form P (x) = 0, wo x ist ein Vektor von n unbekannten Variablen und P ist ein Polynom. Zum Beispiel ist P (x, y) = x⁴ + y³ + x²y + 5 = 0 ist eine algebraische Gleichung von zwei explizit geschriebenen Variablen. Auch (x + y)³= 3x²y - 3zy⁴ ist eine algebraische Gleichung, jedoch in impliziter Form. Es wird die Form Q (x, y, z) = x annehmen³ + y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, einmal explizit geschrieben.

Ein wichtiges Merkmal einer algebraischen Gleichung ist der Grad. Sie ist definiert als die höchste Potenz der in der Gleichung vorkommenden Ausdrücke. Wenn ein Term aus zwei oder mehr Variablen besteht, wird die Summe der Exponenten jeder Variablen als Potenz des Terms angesehen. Beachten Sie, dass gemäß dieser Definition P (x, y) = 0 den Grad 4 hat, während Q (x, y, z) = 0 den Grad 5 hat.

Lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen sind zwei verschiedene Arten algebraischer Gleichungen. Der Grad der Gleichung ist der Faktor, der sie von den übrigen algebraischen Gleichungen unterscheidet.

Was ist eine lineare Gleichung??

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung mit dem Grad 1. Beispielsweise ist 4x + 5 = 0 eine lineare Gleichung einer Variablen. x + y + 5z = 0 und 4x = 3w + 5y + 7z sind lineare Gleichungen von 3 bzw. 4 Variablen. Im Allgemeinen wird eine lineare Gleichung von n Variablen die Form m annehmen₁x₁ +m₂x₂ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Hier x_ichsind die unbekannten Variablen, m_ich's und b sind reelle Zahlen, bei denen m_ich ist nicht Null.

Eine solche Gleichung repräsentiert eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Insbesondere repräsentiert eine lineare Gleichung mit zwei Variablen eine gerade Linie in der kartesischen Ebene, und eine lineare Gleichung mit drei Variablen repräsentiert eine Ebene im euklidischen 3-Raum.

Was ist eine quadratische Gleichung??

Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung zweiten Grades. x² + 3x + 2 = 0 ist eine quadratische Gleichung mit einer einzigen Variablen. x² + y² + 3x = 4 und 4x² + y² + 2z² + x + y + z = 4 sind Beispiele für quadratische Gleichungen von 2 bzw. 3 Variablen.

Im Fall der einzelnen Variablen ist die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0. Wobei a, b, c reelle Zahlen sind, aus denen 'a' nicht Null ist. Die Diskriminante ∆ = (b² - 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln der quadratischen Gleichung. Die Wurzeln der Gleichung sind real verschieden, real ähnlich und komplex, da positive positiv, null und negativ ist. Die Wurzeln der Gleichung lassen sich leicht mit der Formel x = (- b ± √∆) / 2a finden.

In den zwei variablen Fällen würde die allgemeine Form ax sein² + durch² + cxy + dx + ex + f = 0, und dies repräsentiert eine konische (Parabel, Hyperbel oder Ellipse) in der kartesischen Ebene. In höheren Dimensionen repräsentiert diese Art von Gleichungen Hyperflächen, die als Quadriken bekannt sind.