Unterschied zwischen linearer Gleichung und nichtlinearer Gleichung

Lineare Gleichung gegen nichtlineare Gleichung

In der Mathematik sind algebraische Gleichungen Gleichungen, die mit Polynomen gebildet werden. Wenn explizit geschrieben, haben die Gleichungen die Form P (x) = 0, wo x ist ein Vektor von n unbekannten Variablen und P ist ein Polynom. Zum Beispiel ist P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 ist eine algebraische Gleichung in zwei explizit geschriebenen Variablen. Auch (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ ist eine algebraische Gleichung, aber in impliziter Form und sie wird die Form Q (x, y, z) = x annehmen³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, einmal explizit geschrieben.

Ein wichtiges Merkmal einer algebraischen Gleichung ist der Grad. Sie ist definiert als die höchste Potenz der in der Gleichung vorkommenden Ausdrücke. Wenn ein Term aus zwei oder mehr Variablen besteht, wird die Summe der Exponenten jeder Variablen als Potenz des Terms angesehen. Man beachte, dass gemäß dieser Definition P (x, y) = 0 den Grad 5 hat, während Q (x, y, z) = 0 den Grad 5 hat.

Lineare Gleichungen und nichtlineare Gleichungen sind zwei Partitionen, die im Satz algebraischer Gleichungen definiert sind. Der Grad der Gleichung ist der Faktor, der sie voneinander unterscheidet.

Was ist eine lineare Gleichung??

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung mit dem Grad 1. Beispielsweise ist 4x + 5 = 0 eine lineare Gleichung einer Variablen. x + y + 5z = 0 und 4x = 3w + 5y + 7z sind lineare Gleichungen von 3 bzw. 4 Variablen. Im Allgemeinen wird eine lineare Gleichung von n Variablen die Form m annehmen₁x₁ + m₂x₂ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Hier x_ichsind die unbekannten Variablen, m_ich's und b sind reelle Zahlen, bei denen m_ich ist nicht Null.

Eine solche Gleichung repräsentiert eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Insbesondere repräsentiert eine lineare Gleichung mit zwei Variablen eine gerade Linie in der kartesischen Ebene, und eine lineare Gleichung mit drei Variablen repräsentiert eine Ebene im euklidischen 3-Raum.

Was ist eine nichtlineare Gleichung??

Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung, die nicht linear ist. Mit anderen Worten ist eine nichtlineare Gleichung eine algebraische Gleichung mit Grad 2 oder höher. x² + 3x + 2 = 0 ist eine nichtlineare Gleichung mit einer einzelnen Variablen. x² + y³+ 3xy = 4 und 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 sind Beispiele für nichtlineare Gleichungen von 3 bzw. 4 Variablen.

Eine nichtlineare Gleichung zweiten Grades wird als quadratische Gleichung bezeichnet. Ist der Grad 3, spricht man von einer kubischen Gleichung. Die Gleichungen Grad 4 und Grad 5 werden Quartische bzw. quintische Gleichungen genannt. Es wurde bewiesen, dass es keine analytische Methode gibt, um eine nichtlineare Gleichung mit Grad 5 zu lösen, und dies gilt auch für einen höheren Grad. Lösbare nichtlineare Gleichungen repräsentieren Hyperflächen, die keine Hyperebenen sind.