So finden Sie den Bereich regulärer Polygone

Polygon-Definition

In der Geometrie ist ein Polygon eine Form, die aus geraden Linien besteht, die eine geschlossene Schleife bilden. Es hat auch Scheitelpunkte, die der Anzahl der Seiten entsprechen. Die beiden folgenden geometrischen Objekte sind Polygone.

Regelmäßige Polygon-Definition

Wenn die Seiten des Polygons gleich groß sind und die Winkel ebenfalls gleich sind, wird das Polygon als reguläres Polygon bezeichnet. Es folgen regelmäßige Polygone.

 

Der Name der Polygone endet mit dem Suffix "gon" und die Anzahl der Seiten bestimmt den vorderen Teil des Namens. Die Zahl auf Griechisch wird als Präfix verwendet, und das ganze Wort sagt aus, es sei ein Polygon mit so vielen Seiten. Es folgen einige Beispiele, die Liste wird jedoch fortgesetzt.

n	Polygon
2	Digon
3	Dreieck (Trigon)
4	Viereck (Tetragon)
5	Pentagon
6	Hexagon
7	Heptagon
8	Achteck
9	nonagon
10	Zehneck
11	Hendecagon
12	Zwölfeck

So finden Sie den Bereich der Polygone: Methode

Die Fläche eines allgemeinen unregelmäßigen Polygons kann nicht direkt aus der Formel ermittelt werden. Wir können das Polygon jedoch in kleinere Polygone unterteilen, mit denen wir die Fläche leicht berechnen können. Die Summe dieser Komponenten ergibt dann die Fläche des gesamten Polygons. Betrachten Sie ein unregelmäßiges Siebeneck wie unten gezeigt.

Die Fläche des Siebenecks kann als Summe der einzelnen Dreiecke innerhalb des Siebenecks angegeben werden. Durch Berechnung der Fläche der Dreiecke (a1 bis a4).

Gesamtfläche = a1 + a2 + a3 + a4

Wenn die Anzahl der Seiten höher ist, müssen mehr Dreiecke hinzugefügt werden, das Grundprinzip bleibt jedoch gleich.

Mit diesem Konzept können wir ein Ergebnis zur Berechnung der Fläche der regulären Polygone erhalten.

Betrachten Sie das reguläre Sechseck mit der Länge d Seiten wie unten gezeigt. Das Sechseck kann in sechs kleinere kongruente Dreiecke unterteilt werden, und diese Dreiecke können wie in einem Parallelogramm angeordnet werden.

Aus dem Diagramm geht hervor, dass die Summen der Fläche der kleineren Dreiecke der Fläche des Parallelogramms (Rhomboid) entsprechen. Daher können wir die Fläche des Sechsecks anhand der Fläche des Parallelogramms (Rhomboid) bestimmen..

Fläche des Parallelogramms = Summe der Fläche der Dreiecke = Fläche des Siebenecks

Wenn wir einen Ausdruck für die Rhomboidfläche schreiben, haben wir

Bereich_Rhom = 3dh

Durch die Neuordnung der Bedingungen

Aus der Geometrie des Sechsecks können wir beobachten, dass 6d der Umfang des Sechsecks und h der senkrechte Abstand von der Mitte des Sechsecks zum Umfang ist. Deshalb können wir sagen,

Fläche des Sechsecks = 12 Sechseckumfang × senkrechter Abstand zum Umfang.

Anhand der Geometrie können wir zeigen, dass das Ergebnis auf Polygone mit einer beliebigen Anzahl von Seiten erweitert werden kann. Daher können wir den obigen Ausdruck in verallgemeinern,

Fläche des Polygons = 12 Umfang des Polygons × senkrechter Abstand zum Umfang

Der senkrechte Abstand von der Mitte zum Umfang wird mit dem Namen Apothem (h) bezeichnet. Wenn also ein Polygon mit n Seiten einen Umfang p und ein Apothem h hat, können wir die Formel erhalten:

So finden Sie die Fläche der regulären Polygone: Beispiel

1. Ein Achteck hat eine Seitenlänge von 4 cm. Finden Sie den Bereich des Octagon. Um die Fläche des Achtecks ​​zu ermitteln, sind zwei Dinge erforderlich. Das sind der Umfang und das Apothem.

• Finde den Umkreis 

Die Länge einer Seite beträgt 4 cm und ein Achteck hat 8 Seiten. Daher p
Umfang des Achtecks ​​= 4 × 8 = 32 cm

• Finde das Apothem.

Die Innenwinkel des Achtecks ​​betragen 1350 und die Seite des gezeichneten Dreiecks halbiert den Winkel. Daher können wir das Apothem (h) mithilfe der Trigonometrie berechnen.

h = 2tan67,5⁰= 4,828 cm

• Daher ist die Fläche des Achtecks