Unterschied zwischen assoziativ und kommutativ
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Assoziativ vs. Kommutativ
In unserem täglichen Leben müssen wir Zahlen verwenden, wenn wir etwas messen müssen. Im Lebensmittelgeschäft, an der Tankstelle und sogar in der Küche müssen wir zwei oder mehr Mengen addieren, subtrahieren und multiplizieren. In unserer Praxis führen wir diese Berechnungen mühelos durch. Wir merken oder hinterfragen niemals, warum wir diese Operationen auf diese bestimmte Weise durchführen. Oder warum diese Berechnungen nicht auf andere Weise durchgeführt werden können. Die Antwort ist in der Art und Weise verborgen, in der diese Operationen im mathematischen Feld der Algebra definiert werden.
In der Algebra wird eine Operation, die zwei Größen umfasst (z. B. Addition), als binäre Operation definiert. Genauer gesagt handelt es sich um eine Operation zwischen zwei Elementen eines Satzes, und diese Elemente werden als "Operand" bezeichnet. Viele Operationen in der Mathematik, einschließlich der zuvor erwähnten arithmetischen Operationen und der in der Mengenlehre, der linearen Algebra und der mathematischen Logik angetroffenen, können als binäre Operationen definiert werden.
Es gibt eine Reihe von Regeln, die sich auf eine bestimmte binäre Operation beziehen. Assoziative und kommutative Eigenschaften sind zwei grundlegende Eigenschaften der binären Operationen.
Mehr über Commutative Property
Angenommen, einige binäre Operationen, die mit dem Symbol ⊗ gekennzeichnet sind, werden für die Elemente ausgeführt EIN und B. Wenn die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis der Operation nicht beeinflusst, wird die Operation als kommutativ bezeichnet. wenn EIN ⊗ B = B ⊗ EIN dann ist die Operation kommutativ.
Die Addition und Multiplikation der arithmetischen Operationen sind kommutativ. Die Reihenfolge der addierten oder multiplizierten Zahlen hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort:
EIN + B = B + EIN ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
EIN X B = B X EIN ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Im Falle einer Division ergibt sich jedoch eine Änderung in der Reihenfolge, die den Kehrwert des anderen ergibt, und in der Subtraktion gibt die Änderung das Negative des anderen an. Deshalb,
EIN - B ≠ B - EIN ⇒ 4 - 5 = -1 und 5 - 4 = 1
EIN ÷ B ≠ B ÷ EIN ⇒ 4 ≤ 5 = 0,8 und 5 ≤ 4 = 1,25 [in diesem Fall EIN,B ≠ 1 und 0]
Tatsächlich gilt die Subtraktion als anti-kommutativ; woher EIN - B = - (B - EIN).
Auch die logischen Verbindungen, die Konjunktion, die Disjunktion, die Implikation und die Äquivalenz sind kommutativ. Wahrheitsfunktionen sind auch kommutativ. Die gesetzte Operationsunion und die Schnittmenge sind kommutativ. Die Addition und das Skalarprodukt der Vektoren sind ebenfalls kommutativ.
Das Vektor-Subtraktions- und Vektorprodukt ist jedoch nicht kommutativ (Vektorprodukt von zwei Vektoren ist anti-kommutativ). Die Matrixaddition ist kommutativ, aber die Multiplikation und die Subtraktion sind nicht kommutativ. (Die Multiplikation von zwei Matrizen kann in besonderen Fällen kommutativ sein, z. B. die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen oder der Identitätsmatrix; definitiv sind Matrizen jedoch nicht kommutativ, wenn die Matrizen nicht die gleiche Größe haben.)
Mehr über Assoziatives Eigentum
Eine binäre Operation wird als assoziativ bezeichnet, wenn die Reihenfolge der Ausführung das Ergebnis nicht beeinflusst, wenn zwei oder mehr Vorkommen des Operators vorliegen. Betrachten Sie die Elemente A, B und C und die binäre Operation ⊗. Die Operation ⊗ wird als assoziativ bezeichnet, wenn
EIN ⊗ B ⊗ C = EIN ⊗ (B ⊗ C) = (EIN ⊗ B) ⊗ C
Von den Grundrechenfunktionen sind nur die Addition und die Multiplikation assoziativ.
EIN + (B + C) = (EIN + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
EIN × (B X C) = (EIN X B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Die Subtraktion und Division sind nicht assoziativ;
EIN - (B - C) ≠ (EIN - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 und (5 - 4) - 3 = -2
EIN ÷ (B ÷ C) ≠ (EIN ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 und (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Die Verknüpfungen, Konjunktion und Äquivalenz der logischen Verbindungen sind assoziativ, ebenso wie die Operationsoperationsvereinigung und Schnittmenge. Die Matrix- und Vektoraddition sind assoziativ. Das Skalarprodukt von Vektoren ist assoziativ, das Vektorprodukt jedoch nicht. Matrixmultiplikation ist nur unter besonderen Umständen assoziativ.
Was ist der Unterschied zwischen kommutativem und assoziativem Eigentum??
• Sowohl die assoziative Eigenschaft als auch die kommutative Eigenschaft sind besondere Eigenschaften der binären Operationen. Einige erfüllen sie, andere nicht.
• Diese Eigenschaften sind in vielen Formen von algebraischen Operationen und anderen binären Operationen in der Mathematik zu sehen, z. B. Schnittpunkt und Vereinigung in der Mengenlehre oder logischen Verknüpfungen.
• Der Unterschied zwischen Kommutativ und Assoziativ ist, dass die Eigenschaft der Kommutative besagt, dass die Reihenfolge der Elemente das Endergebnis nicht ändert, während die Assoziative Eigenschaft besagt, dass die Reihenfolge, in der die Operation ausgeführt wird, die endgültige Antwort nicht beeinflusst.
