Unterschied zwischen Kardinalzahlen und Ordnungszahlen

Kardinal gegen Ordinal 
 

In unserem täglichen Leben kann die Verwendung von Zahlen in verschiedenen Situationen unterschiedliche Formen annehmen. Wenn wir beispielsweise zählen, um die Größe einer Sammlung von Objekten herauszufinden, zählen wir sie als eins, zwei, drei usw. Wenn wir etwas zählen wollen, um die Position der Objekte zu erfassen, zählen wir sie als erstes, zweites, drittes usw. In der ersten Form des Zählens werden Zahlen als Kardinalzahlen bezeichnet. Bei der zweiten Form der Zählung werden die Zahlen als Ordnungszahlen betrachtet. In diesem Zusammenhang sind die Begriffe Kardinal und Ordinal vollständig linguistisch. Kardinal und Ordinal sind Adjektive.

Die Erweiterung des Konzepts auf Mengen in der Mathematik offenbart jedoch eine viel tiefere und breitere Perspektive und kann nicht mit einfachen Worten behandelt werden. In diesem Artikel werden wir versuchen, die grundlegenden Konzepte der Kardinal- und Ordnungszahlen in der Mathematik zu verstehen.

Formale Definitionen der Kardinal- und Ordinalzahlen sind in der Mengenlehre enthalten. Die Definitionen sind kompliziert, und um sie im perfekten Sinne zu verstehen, muss Hintergrundwissen in der Mengenlehre vorliegen. Wir wenden uns daher einigen Beispielen zu, um die Begriffe heuristisch zu verstehen.

Man denke an die beiden Sätze 1,3,6,4,5,2 und Bus, Auto, Fähre, Zug, Flugzeug, Hubschrauber. Jeder Satz listet eine Menge von Elementen auf, und wenn wir die Anzahl der Elemente zählen, ist offensichtlich, dass jedes die gleiche Anzahl von Elementen hat, was 6 ist. Wenn wir zu diesem Schluss kommen, haben wir die Größe eines Satzes genommen und mit einem anderen verglichen Nummer. Eine solche Nummer wird als Kardinalzahl bezeichnet. Daher können wir sagen, dass eine Kardinalzahl eine Zahl ist, mit der wir die Größe der endlichen Mengen vergleichen können.

Wieder kann der erste Satz von Zahlen in aufsteigender Reihenfolge angeordnet werden, wobei die Größe jedes Elements zu berücksichtigen und zu vergleichen ist. Bei der Bestellung werden die Zahlen als Kardinäle betrachtet. Ebenso kann die Menge aller nicht negativen Ganzzahlen in einer Menge angeordnet werden. das heißt 0,1,2,3,4,…. In diesem Fall wird jedoch die Größe der Menge unendlich, und es ist nicht möglich, sie in Ordinalzahlen anzugeben. Unabhängig davon, wie groß eine Zahl ist, die Sie auswählen, um die Größe des Satzes zu bestimmen, es werden immer noch Zahlen aus dem Satz, den Sie auswählen, nicht angegeben und die nicht negative ganze Zahlen sind.

Daher definieren Mathematiker diesen unendlichen Kardinal (der erste) als Aleph-0, geschrieben als א (erster Buchstabe im hebräischen Alphabet). Formal ist die Ordnungszahl der Auftragstyp eines gut geordneten Satzes. Daher kann die Ordnungszahl der endlichen Mengen durch Kardinalzahlen angegeben werden, aber für unendliche Mengen wird die Ordinalzahl durch transfinite Zahlen wie Aleph-0 angegeben.

Was ist der Unterschied zwischen Kardinal- und Ordnungszahl??

• Die Kardinalzahl ist eine Zahl, die verwendet werden kann, um zu zählen oder die Größe eines endlich geordneten Satzes anzugeben. Alle Kardinalzahlen sind Ordinalzahlen.

• Die Ordnungszahlen sind Zahlen, die die Größe von endlichen und unendlich vielen Mengen angeben. Die Größe der endlich geordneten Mengen wird durch übliche Hindu-Arabisch-Algebrazahlen angegeben, und die unendliche Mengengröße wird durch transfinite Zahlen angegeben.