So berechnen Sie die Binomialwahrscheinlichkeit

Die Binomialverteilung ist eine der elementaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen für diskrete Zufallsvariablen, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik verwendet werden. Es wird der Name gegeben, weil es den Binomialkoeffizienten hat, der an jeder Wahrscheinlichkeitsberechnung beteiligt ist. Es wiegt die Anzahl der möglichen Kombinationen für jede Konfiguration.

Stellen Sie sich ein statistisches Experiment vor, bei dem jedes Ereignis zwei Möglichkeiten hat (Erfolg oder Misserfolg) und p Erfolgswahrscheinlichkeit. Außerdem ist jedes Ereignis unabhängig voneinander. Ein solches Ereignis ist als Bernoulli-Prozess bekannt. Binomialverteilungen werden auf aufeinanderfolgende Sequenzen von Bernoulli-Versuchen angewendet. Betrachten wir nun die Methode, um die Binomialwahrscheinlichkeit zu ermitteln.

So finden Sie die Binomialwahrscheinlichkeit

 Ob X ist die Anzahl der Erfolge von n (endlicher Betrag) unabhängige Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, dann die Wahrscheinlichkeit von X Erfolge im Experiment sind gegeben durch,

ⁿC_x wird als Binomialkoeffizient bezeichnet.

X soll mit Parametern binomial verteilt sein p und n, oft mit der Notation Bin (n, p).

Der Mittelwert und die Varianz der Binomialverteilung werden in Parametern angegeben n und p. 

Die Form der Binomialverteilungskurve hängt auch von den Parametern ab n und p. Wann n klein ist, ist die Verteilung für Werte grob symmetrisch pRange.5 Reichweite und stark verzerrt, wenn p ist in 0 oder 1 Bereich. Wann n groß ist, wird die Verteilung geglättet und symmetrisch, wenn der Versatz merklich ist p liegt im extremen Bereich von 0 oder 1. Im folgenden Diagramm stellt die x-Achse die Anzahl der Versuche dar und die y-Achse gibt die Wahrscheinlichkeit an. 

  So berechnen Sie die Binomialwahrscheinlichkeit - Beispiele

1. Wenn eine vorverzerrte Münze fünfmal hintereinander geworfen wird und die Erfolgschance 0,3 ist, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten in den folgenden Fällen.

ein) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Mittelwert der Verteilung

e) Abweichung der Verteilung

Aus den Details des Experiments können wir ableiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen binomial sind mit 5 aufeinanderfolgenden und unabhängigen Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit 0,3. Daher ist n = 5 und p = 0,3. 

ein) P (X = 5) = Erfolgswahrscheinlichkeit (Köpfe) für alle fünf Versuche

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0,3)⁵ (1 - 0,3)^{5 - 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = Wahrscheinlichkeit, während des Versuchs vier oder weniger Erfolge zu erzielen 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0,00243 = 0,99757

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Um die binomiale Wahrscheinlichkeit zu berechnen, nur vier Erfolge zu erzielen (P (X) = 4), haben wir,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0,3)⁴ (1 - 0,3)^5-4 = 5 × 0,0081 × (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

d)  Mittelwert = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Abweichung = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05