So finden Sie das Zentrum der Masse

Massenmittelpunkt - Definition

Der Punkt, an dem die gesamte Masse eines Körpers oder Systems als konzentriert betrachtet werden kann, wird als Massenmittelpunkt bezeichnet. Mit anderen Worten, es ist der Punkt, an dem die Gesamtmasse des Körpers oder des Systems die gleiche Wirkung hat, wenn auf eine Punktmasse konzentriert.

Schwerpunkt berechnen

Ein starrer Körper hat eine kontinuierliche Massenverteilung. Ein Massensystem kann entweder eine kontinuierliche oder eine diskrete Massenverteilung haben. Um das Konzept besser zu verstehen, betrachten wir ein System mit zwei Punktmassen m₁ und M₂ positioniert bei (x₁,y₁) und (x₂,y₂).

Der Massenmittelpunkt des Systems wird durch die Koordinaten (x_CM,y_CM) erhalten durch die folgende Formel. 

Wenn auch die z-Koordinaten angegeben sind, können mit dem gleichen Verfahren z-Koordinaten des Massenschwerpunkts erhalten werden. Der Massenmittelpunkt teilt intern den Abstand zwischen den beiden Punkten und der Abstand von CM zu jeder Masse (r) ist umgekehrt proportional zur Masse (m). d.h. r∝1 / m. Daher gilt die folgende Beziehung für beliebige zwei Punktmassensysteme. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. Das Ergebnis für zwei Punktmassen kann wie folgt auf viele Partikelsysteme ausgedehnt werden. Wenn die Koordinaten des Partikels m_ich sind gegeben durch (x_ich,y_ich ) dann sind die Koordinaten des Massenschwerpunkts des Systems mit vielen Partikeln durch angegeben, 

 

Eine kontinuierliche Massenverteilung kann als Ansammlung von infinitesimalen Massen angenähert werden. Aus den Grenzfällen der obigen Ergebnisse ergeben sich daher die Koordinaten des Massenschwerpunkts.

Wenn das Objekt eine gleichmäßige Massenverteilung (gleichmäßige Dichte) und regelmäßige geometrische Objekte hat, liegt der Massenmittelpunkt im geometrischen Mittelpunkt des Objekts. Es sollte auch beachtet werden, dass der Schwerpunkt (CM) und der Schwerpunkt (CG) in den meisten Situationen synonym verwendet werden. Sie sind jedoch unterschiedlich und stimmen nur dann überein, wenn das auf den Körper oder das System einwirkende Gravitationsfeld gleichförmig ist. Ansonsten sind Massenschwerpunkt und Schwerpunkt getrennt.

Dies gilt für alle Objekte im Gravitationsfeld der Erde. Der Unterschied in den Orten des Massenschwerpunkts und des Schwerpunkts ist jedoch für kleine Objekte zu klein, aber für große Objekte, insbesondere große Objekte wie eine Rakete auf ihrer Abschussrampe, besteht ein erheblicher Abstand zwischen dem Massenschwerpunkt und Schwerpunkt.

So finden Sie den Schwerpunkt - Beispiel

Schwerpunkt Beispiel 01. Die Massen m, 3m, 4m und 6m befinden sich jeweils an den Koordinaten (2, -6), (4,0), (- 1,3) und (-4, -4). Finden Sie den Massenmittelpunkt des Systems. 

Schwerpunkt Beispiel 02. Der Mond umkreist 385000 km vom Erdmittelpunkt entfernt. Wenn die Masse des Mondes 7,3477 × 10 beträgt²² kg oder 0.012300 der Masse der Erde, finden Sie den Abstand vom Erdmittelpunkt zum Erdmittelpunkt und zum Mondsystem.

Aus der Beziehung r₁/ r₂ = m₂/ m₁ wir können das r ableiten_Erde/ r_Mond = m_Mond/ m_Erde . Da die Umlaufbahn des Mondes 385000 km beträgt und die verfügbaren Verhältnisse berücksichtigt werden, ist der Abstand zum Massenmittelpunkt vom Erdmittelpunkt aus

r_Erde/ (r_Mond+r_Erde ) × 385000 km = m_Mond/ (m_Erde+m_Mond ) × 385000 km.

Ersetzen von Werten und Vereinfachung ergibt 0,012300 / (1 + 0,012300) × 385000 km = 4677,96 km (Hier wird die Masse des Mondes als ein Bruchteil der Masse der Erde genommen, d. H. M_Mond/ m_Erde = 0,0123)

Die Trennung ist signifikant (1,25% der Mondbahn), weil der Mond eine beträchtliche Masse hat, aber für kleinere Objekte wie ein Auto das Verhältnis m_Auto/ m_Erde ist Null für alle praktischen Berechnungen.